纤维增强复合材料由高强度、低密度的纤维材料与基体组成，具有比传统材料更高的比强度和比模量，在航空航天、汽车等工业领域已得到广泛应用。但是由于复合材料具有各向异性，其性能与铺层角度等有着密切关系,在复杂结构承受复杂载荷时,相对于普通金属材料,相应的结构设计也变得相当复杂纤维复合材料^[1,2]。因此，研究者都试图寻找一种适合于复合材料的设计方法来解决该类问题。由于复合材料优化设计的重要性，复合材料层合结构优化已成为近年来的研究热点之一^[3,4]。Powell法^[5]、变尺度法、解析法以及遗传算法^[6~9]是复合材料层合板优化设计的常用方法。但是上述的研究均是针对确定性的参数进行研究，而在实际铺层设计过程中，其弹性常数是在一定范围内浮动的。因此，本文将对弹性常数等参数建立随机概率密度函数，在此基础上建立随机机会约束规划模型，并利用随机模拟的遗传算法进行求解。
1 复合材料层合板的刚度矩阵
1.1 单层板的刚度矩阵^[10]            
    复合材料单层板属于正交各项异性材料，其厚度和其它平面内方向（1、2方向）尺寸相比，一般是很小的,近似认为其受力状态为平面应力状态，其应力应变关系为：

        
    一般将单层板的纤维铺设方向定义为1方向，与其垂直的面内方向定义为2方向。工程中给出各种弹性常数来表征材料特性，刚度系数与弹性常数的关系为：

               
    其中，E₁、E₂、G₁₂、v₁₂和v₂₁为弹性常数，且有：

               
    以上讨论的是单层板在其主方向上的应力应变关系，但实际上使用单层板组成层合板的过程中，单层板的主方向1,2方向与层合板的坐标x，Y方向往往不一致。两个坐标系的转角θ定义为从x轴转向1轴的角度，以逆时针转动为正，则两种坐标系下的应力转换方程为：

            
    通过推导,可得:

           
    定义偏轴刚度矩阵为：

          
    可得偏轴刚度系数分别为：

         
1.2 层合板的刚度特性 [-page-] 
    层合板由多个单层板按不同角度铺设而成，显然，其力学性能不仅与各单层板的材料性能有关，还与各单层板的铺设方式有关。如将各单层板的主方向按不同角度和不同顺序铺设，可得到各种不同性能的层合板，这样就可以在不改变单层板的情况下，设计出各种力学性能的层合板以满足工程中的不同要求。
    设N_x，N_y，N_xy为层合板横截面上单位宽度上的内力，M_x，M_y，M_xy为层合板横截面上单位宽度的内力矩。则有^[7]：

        
    其中，K_x和k_y为曲率；K_xy为扭曲率；A_ij、B_ij、D_ij由下式定义：

           
    其中，A_ij为与面内内力和中面应变有关的刚度系数，统称为拉伸刚度；D_ij为与内力矩、曲率及扭曲率有关的刚度系数，统称为弯曲刚度；而B_ij为弯曲、拉伸之间的耦合关系，统称为耦合刚度。
2 复合材料层合板固有频率的随机机会约束规划模型
2.1 一阶固有频率大优化模型
    在此讨论特殊情况下的一阶固有频率大化问题，对于一般情况，其求解过程类似，不同之处在于特殊情况的目标函数有确切的表达式。对于没有确切表达式的情况，可采用以下两种方法来完成目标函数的计算：①目标函数直接利用有限元方法进行计算；②先利用有限元计算不同输入参数情况下的一阶固有频率，再利用神经网络拟合一阶固有频率与输入参数的关系，目标函数的计算即可采用拟合后的神经网络来进行计算。
    为方便讨论基于随机机会约束规划优化固有频率的求解过程，以矩形层合板为例，仅考虑垂直于板中面的横向振动，层合板的横向振动仅与其弯曲刚度有关。对于四边简支边界条件，固有频率ω_mn为^[11]：

        
  其中，a和b分别为层合板的长和宽;P为层合板密度;h为层合板高。当m＝1、n＝1时可得到一阶固有频率，基频f₁＝ω₁₁/2π。当然也可求解两对边简支其它对边为任意支撑等其它边界条件下的固有频率。
    以一阶固有频率大为目标函数，以铺层角为设计变量，则优化的数学模型为：

      
2 随机相关机会规划模型
    由式(2)、(4)、(6)、(8)、(9)可知，一阶固有频率f₁与E₁.E₂.G₁₂ μ₁₂和μ₂₁相关，在实际应用的工程材料中，工程弹性常数往往是不确定的。通过大量的试验可以发现，工程弹性常数往往符合一定的规律分布。因此，以确定性的常数来优化一阶固有频率并不符合工程实际，建立随机机会约束的模型是一有效的方法。
    设E₁、E₂、G₁₂、v₁₂和v₂₁是分别服从某种概率分布的弹性常数，由于复合材料层合板的工程设计中，由于工艺条件限制，铺层角不能随意取值，一般只能取一些常用的角度，如0°、30°、45°、60°、90°等。根据Liu^[12]给出的形式，若希望极大化目标函数的乐观值，则可建立Maximax的机会约束模型如下：

      
    其中，ξ为随机弹性常数；α为预先给定的置信水平。
    若在随机环境下，为了极大化目标函数的悲观值，则可建立Minimax机会约束规划模型如下：

     
3 随机相关机会规划模型求解
3.1 弹性常数概率分布函数及随机模拟
    弹性常数可通过试验及随机理论来确定。设a₁，a₂，…，a_n是弹性常数E₁的n个观测样本，且a₁≤,a₂≤…≤a_n，则E₁的经验分布函数为：

        
    则经验分布F(E₁)的随机数可由以下过程产生：
    算法1(经验分布)
    步骤1:产生服从均匀分布U(0,1)的随机数μ；
    步骤2:取m为(n-1)μ＋1的整数部分；
    步骤3:返回a_m＋[(n-1μ-m＋1](a _m＋1-a_m)。
    其它弹性常数同理可得。由于假设弹性常数服从经验分布，则可以不用考虑给定的置信水平。若假设弹性常数服从高斯、指数等分布，则应给定置信水平。
    无置信水平的Maximax模型及Minimax模型的机会约束模拟步骤如下：
    算法2(Maximax随机模拟)
    步骤1：置f₁＝0；
    步骤2;调用算法(1)产生各弹性常数的随机数；
    步骤3：若f₁(θ_i,ξ)≥f₁成立，则置f₁＝f₁(θ_i,ξ)；
    步骤4：重复步骤2和3共N次；
    步骤5：返回f₁。
    算法3（Minimax随机模拟）
    步骤1：置f₁＝∞；
    步骤2:调用算法(1)产生各弹性常数的随机数；
    步骤3：若f₁(θ_i,ξ)≥f₁成立，则置f₁＝f₁(θ_i,ξ)；
    步骤4：重复步骤2和3共N次；
    步骤5：返回f₁。
3.2 基于随机模拟的遗传算法求解
    遗传算法（Genetic algorithm，GA）将生物进化过程中适者生存规则与群体内部染色体的随机信息交换机制相结合。通过优胜劣汰、适者生存的进化准则在复杂的空间内进行有效的搜索，并具有很强的鲁棒性。基于随机模拟的遗传算法，主要是把随机模拟的机会约束检验和随机目标函数的处理嵌入到遗传算法中，来解决随机机会约束规划中机会约束和随机目标不能转换为确定等价形式的情况^[13~15]。
    (1)染色体的编码
    由于设计变量，即铺层角的可以选取的值的个数为8，故可采用二进制编码方式。设共有N层铺层，则染色体的位串可分为N段，每段的长度为3，每段表示的设计变量与位段译码关系见表1。

    
    (2)选择
    选择算子决定了算法进化速度的快慢。它具体表现指标是选择压力和死亡时间，也就是父代个体存在的代数。一般来说，遗传算法选择有随机选择、确定选择和混合选择这三种。本文选用轮盘赌选择方式，并采用优个体保留策略。
    (3)交叉和变异
    随机选择两个染色体，再随机选择一个交叉位置，将这两个染色体位于交叉位置后的符号串互换，形成两个性的染色体。以较小的概率P_m。(称为变异率)，随机改变染色体位串上的每一位，即相应位上的0变为1，或是1变为0，形成新的染色体。
4 设计实例
    设设计的复合材料层合板是四边固支的20层复合材料矩形板，其弹性常数经过6次试验后的值由小到大排列如表2所示，其中密度取确定值P＝1600kg/m³。

          
    层合板的几何尺寸为0.4×0.2m，各层厚度均为0.0015m，
    选择遗传算法的代数为80，交叉概率为0.7，变异概率为0.01。利用Matlab 7编程计算的Maximax及Minimax的机会约束模型的优值分别为429.847和331.417，每代优值如图1所示，优个体见表3所示。

5 结论
    本文通过引入随机机会约束对复合材料层合板固有频率的铺层角进行优化设计，提出了一种基于随机弹性常数的结构优化设计方法。给出基于随机模拟的遗传算法求解步骤，并通过具体实例验证了算法的可行性。在基于随机模拟的遗传算法中，花费较大的是随机模拟求解目标函数的计算过程，减少计算量的主要方法是寻找适当的遗传算法参数，减少计算的代数。另外，本文对复合材料层合板的优化设计仅仅是对一特定的实例进行求解，对于更一般的情况，其目标函数的值可利用有限元软件来计算。在具体的求解过程中，可利用多学科综合优化设计软件，如用Isight调用有限元计算目标函数和相应的遗传算法程序完成求解过程。
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