强度的近似计算
强度的近似计算
在制品设计(特别是对受力构件的设计)中，往往要对所设计构件的强度进行分析评价，为此需进行强度计算。这种强度计算主要是预测构件的强度与刚度，特别是拉伸强度与拉伸弹性模量。在进行分析计算时，由于影响复合材料的力学性能的可变因素较多，因而不容易作精确的计算，往往只是近似计算。
影响复合材料强度的可变因素主要有：
①纤维与树脂基体各自的力学性能；
②纤维在复合材料中所占的比例；
③纤维与树脂基体的界面粘接程度；
④纤维的横断面状况；
⑤纤维在树脂基体中的分布状况。
在分析计算中必须将某些变化因素恒定，而着重对一些宏观上变动较大、对性能影响突出的因素进行分析与演算。
1 单向连续纤维复合材料的强度计算
为简便计算，设定：
①纤维在整个复合材料中均匀分散，完全平行，并连续分布于树脂基体之中；复合材料中无气泡、无空隙和无杂质。
②纤维与树脂基体界面始终处于完善粘接状态。
③纤维与树脂基体的变形是弹性的，其应变相等。
这种单向复合材料的模型见图12-26。
对这种简单的复合材料模型可用混合定律进行分析。混合定律说明：复合材料所承担的负荷是其组成部分分别承担负荷的总和。
如以Lc表示复合材料所承担的负荷，Lf表示纤维所承担的负荷，Lm表示树脂基体所承担的负荷，则有：
设Ac为复合材料的断面积，Af为纤维断面积之和，Am为树脂基体断面积；又以
分别表示复合材料、纤维与基体中的拉应力，则式(12-1)可写成：
已假定Af、Am为常数，Ac=Af+Am。
设Uf、Um分别表示玻璃纤维和基体在整个复合材料中所占的体积分数。已设定纤维、基体与复合材料的变形相同，其长度始终相同，故有：
（12-3）
由于已假定纤维与树脂界面完全粘接，其应变相等，即：
式中，
为复合材料、纤维、基体的应变。
于是：
（12-4）
式中，Ef、Em为纤维、基体的拉伸弹性模量。
根据式(12-2)、式(12-3)、式(12-4)可得混合定律的两个基本表达式：
式(12-5)、式(12-6)即为复合材料的拉伸强度与拉伸弹性模量的计算式。但上两式中Uf应有小限度，因为玻璃纤维在复合材料中含量过小时，纤维不足以限制基体的伸长，结果在受力时纤维会迅速达到断裂应力而被破坏。
式(12-5)、式(12-6)是复合材料计算中简单的公式，在通常情况下有一定的可靠性。但因它们未考虑纤维强度在统计上的离散性以及纤维在显微结构上的缺陷，故计算与实测有偏差。为此，有时引入修正系数β(或称基体的有效系数)对计算式加以修正。β值的大小视具体条件确定，一般为l～2，于是得下式：
式中， 
为纱股的拉伸强度与拉伸弹性模量。
将复合材料中纤维与基体所承担的负荷相比得：
由式(12-9)可见，为了使不饱和聚酯树脂得到有效的增强，必须满足两个条件：
①纤维的拉伸模量必须比基体的拉伸模量大得多，即Ef>>Em。
②纤维的体积分数(即Uf)要尽可能增大。
在以上各式中都采用Uf(即玻璃纤维在复合材料中的体积分数)进行计算。但实际生产中常用的“玻璃纤维含量”是玻璃纤维的质量分数，可通过下式换算成纤维的体积分数：
式中
2 平面双向垂直分布的连续纤维复合材料的强度计算
这种平面双向垂直分布即为各种玻璃布按不变角度的经纬向铺层叠合增强的玻璃钢制品。这种制品必须由压力成型才能保证层间的密实性，否则层间的空隙与分层现象是难免的。为了简化计算，除了上节中已假定的条件外，再假定各层玻璃纤维之间无交叉，同层纤维全部呈平行状态，相邻层纤维互相垂直。即将玻璃布按垂直铺放的两层单向布来考虑，于是得这种复合材料的模型(图12-27)。
以小写字母l表示纵向，t表示横向。设σcl、σct为复合材料的纵向拉应力与横向拉应力，Sfl、Sft为复合材料中纵向纤维与横向纤维所占的截面积比例。显然Sfl与Sft受纤维在复合材料中的含量叫Wf (质量分数)、Uf(体积分数)以及玻璃布经密度、纬密度变化的影响。
设玻璃布经纱、纬纱支数相同，经密度、纬密度之比为(l:t)，即可推算Sfl、Sft与Wf、（l:t）之间的关系式。
取复合材料的单元模型如图12-27所示，其高度为2a，宽度、长度为la(图12-27中l:t=4:3 )，设玻璃纤维单股纱截面积为b，可得：
纤维总体积
复合材料单元总体积
纤维在复合材料中体积含量为：
于是得：
由此可见，经向纤维或纬向纤维在复合材料中所占面积的比例与经纱或纬纱在经纱、纬纱总数中所占的比例成正比。根据混合定律，可分别列出复合材料纵向拉应力、横向拉应力以及拉伸弹性模量计算式．
式(12-13)～式(12-16)即为平面双向垂直连续纤维复合材料的拉伸强度与拉伸弹性模量的计算式。
以下按式(12-13)～式(12-16)举例估算这种复合材料的拉伸强度。
设玻璃纤维相对密度2.54，拉伸强度1700MPa(中碱纤维)，聚酯树脂固化后相对密度1.27，拉伸强度40MPa。
①采用平纹方格布，l:t=1:1。
②改用但单向布，l：t=4：1。
Wf=50％，
其他强度计算与模量计算依此类推。
可见双向垂直玻璃钢的经向、纬向强度受玻璃含量以及纤维在经向、纬向分布变化的影响甚大。
3 随机分布的短纤维复合材料的强度计算
随机分布的短纤维复合材料是各向同性的，团状模塑料制品、片状模塑料制品以及短切纤维增强复合材料制品即属于此类。此时，复合材料中主要承担力学性能的玻璃纤维是无规则分布的短纤维，其应力分布情况比较复杂。以下就纤维的临界长度以及纤维排向的有效系数两个方面进行分析。
(1)纤维的临界长度 短纤维增强和连续纤维增强的本质不同点是：短纤维主要通过端部树脂基体的变形，将应力传递到其他纤维上去；连续纤维则主要是通过平行纤维之间的树脂基体的变形实现应力的互相传递。因此短纤维所承担的平均拉应力即小于连续纤维的断裂拉应力，而且纤维与基体之间的剪切应力起更大的作用。当负荷超过界面剪切强度时，短纤维即由基体中滑脱，使复合材料遭到破坏，于是产生“临界纤维长度”概念。
临界纤维长度可定义为：达到连续纤维相同的拉伸断裂强度所需的短纤维的小长度。短纤维的长度太于临界长度时，可以达到连续纤维同样的断裂强度，但平均应力仍小于连续纤维的极限应力。短纤维长度小于临界长度时，纤维强度实际上达不到连续纤维的断裂强度值。图12-28为短纤维的应力曲线。
由图12-28可见，拉应力在短纤维的每个长度的两端，有一部分其承担的应力小于连续纤维的大应力。在临界长度lc上，恰好两端应力逐渐增加到连续纤维的断裂强度值。图12-28中当l>lc时，ab与cd为两个端部，其应力σfl值由零逐渐上升到连续纤维的大应力σfu。bc段可达到连续纤维的断裂强度。
当l>lc时，设两端ab、cd均为
。l＜lc时，两端部均小于。设a为上方应力分布曲线下的面积与连续纤维同长度时相应面积之比值，即：
于是可得两端部中平均应力为：
一般地．短纤维达到断裂时，平均应力可表达为：
在复合材料中，短纤维的强度可简化表达为以下3种情况。
①纤维长度超过临界长度(l＞lc)
②纤维长度等于临界长度(l=lc)
③纤维长度小于临界长度(l＜lc)，此时纤维与树脂基体界面剪应力τ与纤维直径df的影响较大。
实际上，在这种短纤维随即分布的SMC、BMC等材料中，纤维表面的浸润剂类型对临界长度lc的影响很大。可溶性浸润剂使纤维分散于基体之中；不溶性浸润剂则使纤维保持纱股的集束状态。于是产生复合材料中增强单元的直径不同，其长度与直径比比值（即线径比）不同，结果使临界长度发生较大差异。例如，可溶性纤维直径为10μm，则不溶性纤维束相应的有效直径为300μm，前者临界长度为0.14mm，后者临界长度为4mm。
在实际生产中，增大纤维长度，可以得到较高的制品强度，但不利于成型过程中材料的流动性。采用较短的纤维，在异型及有限构型的模具中材料易于流动及互相穿透，制品性能较均匀。
(2)纤维的排向有效系数 以上所分析的纤维强度均属纤维处于负荷方向上的应力分析。当纤维处于与受力方向成一个θ夹角时，其应力分析如下。
设纤维断面积为 
，偏离θ角后，在受力方向上断面积
为：
由于纤维是随机分布的，θ也是任意值，于是可引出纤维的排向有效系数η为：
式中，Af为纤维的断面积总和。
由式(12-21)可见，排向有效系数η表达了复合材料中纤维排向偏离受力方向的程度。
在不同的复合材料结构中，纤维的排向有效系数见表12-14。
根据η值，对随机分布的复合材料的强度计算，可以先按平行方向进行计算，然后将计算结果折算为各种不同方向分布的强度值，得到近似的结果。
各种不同的纤维布向产生的复合材料，也具有不同的应力-应变曲线。见图12-29。
4 纤维增强聚酯材料的相对密度
纤维增强聚酯材料的相对密度随玻璃钢纤维含量不同而变化。可按下式计算：
式中
为简化计算，取
则式（12-22）可简化为：
一般ρf为定值，由不同的Wf值可以很快计算得ρc的近似值。
例如：
5 混合定律的近似性
以上所述的强度计算方法是以简单的混合定律为基础进行计算的。如前所迹，混合定律的前提是假定纤维、基体和界面三者都处于理想状态，而且在受力下均为弹性体，应变相等。这种假定在实际上是不可能达到的，因而计算是近似的，评价和预测所设计的复合材料构件的力学性能时可作参考。计算结果与实际的近似与偏差情况示于图12-30。
由于纤维增强聚酯这种复合材料发展很快，有关其力学分析与计算方法也有许多新的进展，可以进行较准确地计算。对此有不少专门文献资料和书刊作了介绍，在此不多叙述。
