摘  要：纤维增强复合材料具有较高的比强度、比刚度和比模量，在航空航天领域得到越来越广泛的应用。层合板是复合材料在工程结构中应用的主要形式。对于含孔的层合板结构，由于材料的各向异性以及孔的影响，其应力分布比较复杂，采用数值解是较好的选择。本文基于层合板的可设计性特点，综合考虑铺层角度、铺层顺序等对层合结构的影响，设计出了一种二十四层对称层合板。以有限元方法为基础，借助ANSYS分析工具，对该层合板含孔结构的孔边应力重点分析，得出了不同铺层角度铺层中应力分布的云图和孔边应力分布曲线。本文结论对复合材料层合板优化设计和带孔层合结构的应力计算具有较好的参考价值。
1 引 言
    工程结构中为了满足各种需要，在零件或构件上会有一些孔洞存在。在载荷作用下孔边会产生局部高应力区域，这种现象称为应力集中。应力集中的产生削弱了零件整体的结构强度，工程中一般会通过增加孔周围材料的厚度来弥补孔引起的强度削弱。这对于重量不敏感的结构来说是一种简便有效的方法，但是对于飞行器来说，飞行器工程师们一直在为减轻每一千克质量而努力，很多孔结构本身就是为了减轻结构重量而存在的，因而依靠增加材料来提高结构强度的这种方法显然是不适用的。
    目前，根据国内外对复合材料的研究发现，通过合理布置分层材料的特性和合理设计铺层方向角能有效减弱孔边的应力集中。当今复合材料在航空航天领域得到越来越广泛的应用，航空航天领域所应用的复合材料结构主要是层合板。层合板可设计性强，可制成多种结构形式，并可采用多种工艺方法成型。层合板设计主要包括选取合适的铺层角，确定各铺层角铺层的百分比和铺层顺序三方面。综合考虑这三方面因素的影响，本文设计出一种二十四层对称铺设含圆孔层合板，运用有限元法通过数值模拟计算得出孔边的应力场分布，观察各层应力分布，绘制相应的应力曲线，对比分析铺层角度不同层上的应力，探讨铺层角对应力分布的影响。对以上结论作出综合评价，探索一种具有现实指导价值的复合材料层合板带孔结构的优化设计方案。
2  力学模型
    本文选用的是ANSYS单元库中自带的Shell99单元来模仿复合材料的铺层结构，该单元的几何结构示意图如下所示。
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    由图可知，该单元是一种8节点3D壳单元，每个节点有6个自由度。允许设置小于250层的铺层，主要适用于薄型到中等厚度的板和壳结构，一般要求宽厚比大于10。本文模型均满足以上要求，因此选用该单元是正确的。
    Shell99单元的形函数表述为将位移函数表示成节点位移的函数：
   
    其中，N_i为节点插值函数：u_i,v_i,w_i为节点位移;r为厚度坐标;t_i为节点i处厚度；a、b为单位向量；θ_x,i、θ_y,i为节点i处的转角；N为形函数，其矩阵形式为：
   
    构造单元节点位移列阵：
    
    则单元位移：
    
    平面问题的几何方程：
   
    将式（4)代入式（5)得到单元应变：
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    其中，B为应变矩阵；L为平面问题的微分算子。
    物理方程：
    
    将式（6)代入式（7）得到单元应力：
    
    其中，S为应力矩阵。
    利用小位能原理建立有限元方程泛函总位能：
    
    将式(4)和式(6)代入式（9）得到离散模型的总位能：
    
    引入单元节点自由度和结构节点自由度的转换矩阵G：
    则：
   
    令：
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    上式中，K^e为单元刚度矩阵；P^e为单元等效节点载荷列阵。
    将以上各式代人式（10）可得：
   
    令：
   
    其中，K和P分别称之为结构整体刚度矩阵和结构节点载荷列阵。
    则式（11)变为：
   
    根据变分原理，对泛函取驻值得：
   
    即得到有限元的求解方程：
   
3  计算和结果分析
    本文建立的有限元模型为如图2所示的1/4板孔模型，所设计的二十四层对称铺设的层合板结构为：[45/0₂/-45/0₂/45/90/-45/0₂/45]s。每一铺层的厚度为0.01mm。板的尺寸长为48mm，宽为40mm，孔半径为2.5mm（根据小孔概念的要求，宽径比应大于等于8），符合无限大板小孔的要求。所选用铺层的材料属性为：E₁₁＝139300Pa, E₂₂＝8568Pa,G₁₂=4968Pa,v₁₂=0.3。在与整体分割出来的面上，如图2所示的左侧和下侧，施加了对称约束，在右侧施加了1MPa的均布拉力。
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    选用Shell99单元，通过设置实常数确定复合材料的铺层数，然后依次设定层厚和铺层方向角。通过适当设置实常数，使所受均布载荷作用在面内并关于中面对称，从而使板只有面内变形而无弯曲变形。孔边和非孔边采用不同的网格划分方式，以便良好地控制划分精度，提高结果的准确度。以下分别给出0°层、90°层、45°层和-45°层的x方向应力云图。如图3至图6所示：
   
    
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    由图3至图6可以看出，0°层x方向大应力出现在90°附近，表现为拉应力；90°层x方向大应力出现在90°附近，表现为拉应力;45°层x方向大应力出现在60°附近，表现为压应力；-45°层x方向大应力出现在65°附近，表现为拉应力。
    由于篇幅的原因，0°层、90°层、45°层和-45°层的y方向云图和xy方向应力云图在此省略。为了更进一步定量分析各层中应力分布，特别是孔边应力分布，在ANSYS中通过定义数组的方式，储存各层在孔边处各节点的应力，并输出数组，取出相应的数值在极坐标下绘制成曲线图，对比分析。（以下数值均来自于各层的中面，即节点偏置到各层中面时的计算结果。）如图7至图9所示：
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    观察应力云图图3至图6，并与图7应力曲线图对照分析可知，应力云图和应力曲线图的走势完全一致。总体看来x方向应力在大概30°的位置，各层趋于一致，在0°到30°之间，-45°层和45°层表现为压应力并逐渐减少，而0°层和90°层则呈现拉应力也表现为递减趋势，此时的应力数值均较小；跨过30°之后，90°层应力几乎没有变化，近似一条直线，而0°层应力变化较大，一直攀升，在90°处达到峰值；-45°层由压应力转变为拉应力并逐渐增大，[-page-] 在75°左右达到峰值，然后转为下降趋势；45°层由之前的上凸平滑过渡为下凹，压应力先增后减直到变为拉应力，从总体上看和-45°层近似的关于直线对称。综合以上分析可知，主要由0°层承受拉应力，而所设计的层合板中0°层体积百分含量为50%，因此对于工程中薄板承受沿0°方向均布拉力的场合，这一设计满足要求。
    由图8可知，总体看来Y方向应力在30°左右相交，0°层应力变化幅度较小，90°层应力呈上凸趋势，由压应力过渡为拉应力，在50°左右达到峰值，而后开始减小，-45°层和45°层应力曲线近似的关于某条直线对称，形状和x方向应力曲线十分相似。综合以上分析可知，孔边Y方向应力主要表现为压应力，而且压应力的大值出现在90°层，由于90°层Y方向弹性模量较大，因此能承受较大的压应力，能满足工程要求，不会对结构造成不利影响，这一设计良好地改善了应力在各铺层中的分布。
    由图9可知，面内剪切力在30°左右相交，O°层和90°层面内剪切应力完全重合，-45°层在30°之前表现为正值并逐渐减小，45°层此时表现为负值并逐渐增大，过30°之后，二者数值不同但变化趋势几乎一致。综合以上分析可知，面内剪切应力的大值出现在-45°层，而且表现为负值，由-45°层来承受该面内剪切应力是为合适的，因为该层纤维铺向刚好处于与0°层成45°角位置，该方向的弹性模量达到大值。因此该设计能很好满足结构的安全需要，提高安全系数。
4  结 论
    通过以上结果对比分析，可得到以下两点结论：
    (1)层合板设计自由度较大，层合板面内模量会随着不同铺层角度的铺层顺序的改变和各铺层体积含量的改变而变化，适当选择变化量，可设计出具有独特性能的层合板，用于工程中特殊场合的需要。本文在这一理论的指导下，设计出了工程中常用的一般,π/4层合板，用于工程中常用的薄板含孔结构，可有效降低孔边应力集中；
    (2)由图中应力曲线的数值和变化趋势可知，复合材料层合板在总体上优于正交各项异性单层板。通过一定的叠层设计之后，每一单层分别承担了不同的受力要求，从而减轻了整体的负担，这样的设计在总体上有效改善了含孔结构的层合板孔边应力场的分布。但是也存在一定的问题，对于复合材料层合板而言，由于它是由若干个单层板粘合在一起而形成的，而单向复合材料又是正交各向异性材料，层合板的各个铺层的纤维排列方式不相同，可能导致因为受力作用所产生各铺层的变形不一致，这就会产生很大的层间应力，对结构的安全不利。