1 引言
    缠绕是连续纤维增强复合材料制品的一种常用制造方法。纤维缠绕的管件作为结构件使用时主要用于航空航天、体育器材、交通运输及建筑等行业。在工业机器人行业及工业设备的活动构件中，过去一直用铝管和钢管的部位,如今逐渐被高性能的碳纤维缠绕管件所代替。碳纤维缠绕的管件作为结构件使用时主要承受拉、剪、弯、扭等载荷，因此有必要对这样载荷作用下管件的变形情况进行分析研究。已有一些关于纤维缠绕复合材料管件研究的文献，如缠绕图形及纤维波动率对纤维缠绕管件损伤行为的影响^[1]，柱形壳体在加工过程中诱发的翘曲^[2]，纤维铺放顺序及缠绕工艺对制件的结构及性能的影响^[3~9]，缠绕角对残余应力的影响^[10]，纤维缠绕管件的微观和宏观力学行为^[11~13]，纤维缠绕制件的非线性分析^[14,15]，纤维缠绕管在各种载荷作用下的强度^[16]及一些数值或解析计算模型^[17~20]等。Yuan在文献^[17]中给出了纤维缠绕复合材料层合柱面壳体承受弯曲载荷时弹性应力应变的精确解。基于壳体材料的柱面各向异性和Lekhnitskii的应力函数，他推导出了偶合的偏微分本构方程，但笔者认为其本构方程复杂，不太适于工程应用。Kim和White在文献^[18,19]政中给出了适合于不同截面的薄壁和厚壁复合材料梁在各种静载下的变形计算理论，该理论考虑了横向剪切应变、扭转翘曲及三维弹性效应，此方法比较直观、简便，易于工程应用。
    本文考虑纤维缠绕成形的特点,从缠绕的制造参数开始到管元在拉弯扭作用下的变形及应力应变关系,可得到在不同载荷作用下梁的变形情况,比较适合与工程中编程计算。第2部分给出不同缠绕角管件壁厚的计算方法;第3部分根据缠绕管件具有周向均匀弹性模量的特点,给出管件在拉、弯、扭载荷作用下的管壁元分析模型；第4部分将管壁厚的理论值与实验值或数值实验值作了对比，实验结果与计算结果基本吻合。
2 缠绕制件的厚度分析计算
    管形缠绕制件一般是在一个外径与管件内径一致的芯模上缠绕制成的。以纤维束缠绕管件的螺旋升角φ(缠绕角)分类，一般有三种缠绕方式，0°缠绕(即导程很小的缠绕方式，也称环向缠绕)、90°缠绕(纤维束与轴线平行，缠绕时需特殊装备)和对称角缠绕(缠绕角介与0°和90°之间的具有±φ缠绕角的缠绕方式)。这三种缠绕方式的缠绕层厚可由缠绕参数和芯模及干纤维束的截面尺寸求出。以湿法缠绕为例，如芯模的外径为D_i(也即管的内径)、纤维的轴向铺设长度为L、铺设小车在一个行程中芯模转过的圈数为N_t，则缠绕角φ为：

       
    假设纤维束沿轴向的截面积不变，则纤维束体积含量υ_f为：

     
    如果由纤维铺设形成的管外径为D_o，则管壁厚t为：

       
    由式(3)可知,只要求出管壁外径即可计算管壁厚。下面根据几何特点分三种缠绕方式分别给出外径计算式。
2.1 90°缠绕 [-page-] 
    假设干纤维束的截面积为S_f，纤维束在芯模周向的铺设数为N_p，则管的横截面积S及管的外径D_o分别为：

             
2.2 对称角(±φ)缠绕
    对称角缠绕时，由于纤维束倾斜于轴线一个φ角，则管的横截面积S为：

           
2.3 0°缠绕
    根据0°缠绕的几何特点可直接求出管外径D_o：

          
    如果管件的纤维是上述三种方式的组合，由上述各式也很容易算出各铺层厚，再组合即可求得出管壁厚。
    由纤维束和基体的弹性参数及纤维体积含量和缠绕角即计算出各层的正轴弹性模量和偏轴弹性模量，之后便可进行各项力学分析。
3 管壁元分析模型
3.1 管件的基本描述
    所分析的管件如图1所示,长为ι,壁厚为t，管壁中径为2r。这里,根据文献[19]政将厚壁管件定为t/2r≥0.1。在本文分析中，管件的全局直角坐标系(X,Y,Z)、管壁元的局部直角坐标系(x_j,y_j,z)和局部曲线坐标系(ξ,η,z)用作分析的参考坐标系(参见图1及图2)。
    在下面的分析中，先将管件分成m个管壁元，它们的位移、应力、应变在局部曲线坐标系(ξ,η,z)下进行分析，然后转换到局部直角坐标系(x_j,y_j,z)中，再转换到全局坐标系(X,Y,Z)中，并在全局坐标系中进行积分整合。

         
3.2 管壁元在局部曲线坐标系中的基本方程
    对缠绕成形的管，由于其成形工艺特点，管件具有周向均匀弹性模量。这样，从图1所示的管壁上取出一具有层合结构的管壁元j,它的第i层在曲线坐标系下因弯曲及扭转所产生的位移可表示为：

            
    其中，u_ξ、υ_η和w_z分别为管壁元在ξ、η和z向的位移；u_ξo(z)、υ_ηo(z)和w_o(z)分别为管壁元沿ξ、η和z轴向的刚体位移；ф_ξ(z)、ф_η(z)为绕η和ξ轴的转角；θ(z)为绕z轴的扭转角。与位移相关的管壁元的应变为：

                     
    其中，“＇”代表位移对Z的偏导（后同）。
    对一层合的管壁元第i个正交各向异性层片的本构方程为：

                 
    其中，{σ_i}和{ε_i}为应力和应变列阵，其元素分别为σ_zz、σ_ξξ、σ_ηη、т_ξη、т_2η、т_zξ和ε_zz、ε_ξξ、ε_ηηγ_ξη、γ_zη、γ_zξ；[Q]_i为偏轴刚度矩阵。 [-page-] 
    复合材料各向异性的特性可使管壁元有三维的弹性行为。根据Kim和White^[19]的分析，式(10)中管壁元横截面内沿（轴和沿（轴的正应力σ_ξξ、σ_ηη以及面内剪应т_ξη在没有内外压力的情况下与其余的应力相比小得可以忽略不计，即设为0，但由其它几项应力分量诱发的相应应变仍保留，这样可将(10)式可整理为：

         
    其中,C₁₁、C₁₂、C₂₂、C₃₃是由偏轴刚矩阵[Q]_i的元素组成，限于篇幅不在此列出。
    管壁元j横截面在曲线坐标下的合力和合力矩为：

           
    其中,F_z(z)为z轴轴向力：Q_ξ(z)和Q_η(z)分别为ξ,，η方向的剪切力；T_z(z),M_ξ(z)和M_η(z)分别为对z、ξ和η轴的矩，b_j和t分别为第j个管壁元沿周向的宽度和径向的厚度。
    将公式(9)、(11)和(12)联立，则第j个管壁元在曲线坐标中的基本方程为：

              
    其中,{F}_ξηj、{δ}_ζηj分别为载荷列阵和位移列阵；[K]_ζnj为管壁元j的有效刚度矩阵。
3.3 管壁元在局部直角坐标系中的基本方程
    将力和位移转换到局部直角坐标系(x_j,y_j,z)中为：

           
    其中,{F}_xyj和{δ}_xyj分别为局部直角坐标系中的力和位移列阵；[T]为转换矩阵,转换角为a_j(参见图2)。这样，就有：

          
3.4 管件上的力和位移在全局坐标中的关系
    在全局坐标中(参见图2)，第j个管壁元的力和力矩组成的列阵{F}_i为：

            
    由于缠绕的圆管具有周向均匀弹性模量的特点，没有翘曲，因此可认为局部作标系的z轴与全局作标系的Z轴总是平行，这样在后面的公式中将认为Z＝z，这样点(x_j,y_j,z)在全局坐标系中的位移为：

             
    式中，函数w_z，u，和υ分别为点j在Z,X和Y方向的位移。注意到纤维缠绕管的周向均匀弹性模量的特性,u等于管壁元在局部直角坐标系(x_j,y_j,z)沿x_j轴的位移u_xj,υ等于管壁元在局部直角坐标系沿y_j轴的位移υ_yj,函数w_o，u_o和υ_o分别为刚体沿Z,X和Y向的平移，而ф_Y和ф_X分别为管壁元横截面绕X和Y轴的转角，他们分别等于ф_yj和ф_xj(ф_yj和ф_xj分别为管壁元在局部直角坐标系中绕y和x轴的转角，也是式(15)中的位移元素)；θ为管壁元横截面绕Z轴的扭转角，其大小等于管壁元绕z的扭转角。
    对z求导并略去二阶导数，可得管横截面的以下公式： [-page-]

         
    基于公式（24）并考虑适当的边界条件，复合材料管件在一定载荷下的变形便可求得。之后，变形转换到局部曲线坐标，应用式(9)的便可求得应变。
4 数值结果和实验结果
4.1 管壁厚度实验及计算结果
    试件由T700/24K碳纤维束浸蘸环氧树脂缠在芯模上，再经固化、拔模、切制而成，试件由Compo-tech公司提供。芯模直径为26mm，长为1350mm,纤维在芯模周向的等分数N_p为50，一个铺设行程中芯模转过的圈数N_t为一个变化数，以便缠绕出不同缠绕角的管件。本次实验分别使N_t为不同值，缠绕出10个角度的管件，每一个缠绕角有3根，这样一共有30根管件。将这30根管件的两端修整成1200mm的管件，每根再等分成3根试件。分别在试件的三个位置量取内外管径，并由此统计出管壁厚的平均值，详见表1。管件的纤维体积含量为55％。

          
    由表1可见，理论计算值与实测值之间虽有一定的相关性，但也还存在着误差。误差可能会由固化过程中的管件收缩、制造误差、测量误差等多种因素引起。
4.2 悬臂支承管在载荷作用下的变形
    为了检验第3部分中所提分析模型的正确性,这里采用材料T300/5208及相应尺寸的管件，以悬臂方式固定，并在自由端加载，计算其自由端的变形值。理论计算结果与文献[19]中引入的实验数有限元分析结果进行了比较。T300/5208复合材料的力学性能为E₁₁＝146.85GPa，E₂₂＝E₃₃＝11.03GPa，G₁₂＝G₁₃＝6.21GPa,G₂₃＝3.86GPa,υ₁₂＝υ₁₃＝0.28，υ₂₃＝0.5。管件的几何参数见表2。

         
    表2中，薄壁管件采用两种铺层结构，一种是[(+20/-70)₂]_s，另一种是[(＋40/＋50)₂]_s。计算结果显示它们在拉伸载荷N及扭矩T作用下变形都与Kim&White理论的计算结果及文献[19]引用的Nixon实验数据相吻合(参见图3与图4)。

        
    对铺层方式为[＋20₃₀/-70₃₀]_s的厚壁管，以三种载荷形式加载，由本文提出管壁元分析模型所计算的加载后的变形与有限元计算结果列于表3。有限元计算采用Ansys中的三维带层的有限元Solid46，管周向32个单元，径向4个单元，轴向40个单元，共计5120个单元，6560节点。管件悬臂支承，并分别以三种方式加载并计算自由端的位移：①在管的自由端加T=1kNm扭矩，加载后计算自由端端面扭转角及沿管轴向的伸长w；②在管的自由端加F_z=250kN的拉伸载荷，加载后计算自由端面扭转角及沿管轴向的伸长w;③在管的自由端加Q_y＝4.5kN的横向剪切力，并计算管自由端沿剪切力方向位移υ。计算结果列于表3，其中Load1、Load2、Load3分别为第①、②、③种加载方式，cal1、cal2分别表示用管壁元模型和用有限元计算的结果，erro为两者的相对误差。

                 
    从表3可以看出，本文提出的管壁元分析模型计算结果与三维有限元分析结果相比有些误差，但不大。
5 结论
    (1)本文根据管状纤维缠绕制件的成形特点，以干纤维束横截面积、纤维体积含量、芯模尺寸及一个铺设行程中芯模转过的圈数为基本参数，给出了具有不同缠绕角管壁厚的计算方法；
    (2)根据缠绕管件具有周向均匀弹性模量的特点，将管件化分为管壁元，对其进行位移、应变、应力分析，从而提出一种纤维缠绕复合材料管在拉伸、剪切及弯扭载荷作用下的分析模型；
    (3)将管壁厚计算方法和管壁元分析模型用于计算管件，并将理论计算结果与可得到的实验结果和有限元数值计算结果进行了对比，理论计算结果与实验结果均有较好的一致性。
    由文中提出的管壁厚计算方法可以从制造参数开始计算管壁厚,之后用管壁元分析模型对成型管件在拉伸、剪切及弯扭载荷作用下进行分析计算。特别在管壁元计算方法中主要使用矩阵，这非常利于编程计算，可节省设计和计算时间，因此非常适合于工程应用。
                       参考文献
[1] Rousseau J，Perreux D，Verdière N. The influence of winding pat-terns on the damage behaviour of filament-wound pipes[J].Compos-ite Science and Technology,1999,59(9):1439-1449．
[2] Meink T E，Huybrechts S. Processing induced warpage of filament wound composite cylindrical shells[J]．Journal of Composite Materi-als,2002,36(9):1025-1047．
[3] Mertiny R，Ellyin F，Hothan A. Stacking sequence effect of multi-an-gle filament wound tubular structures composite[J].Journal of Com-posite Materials,2004,38(13):1095-1113．
[4] 姜亚明,谢霞,邱冠雄.多向纤维缠绕预制件的取向[J].纺织学报,2006,27(6):36-40.
[5] 王春香,付云忠,杨汝青.纤维缠绕过程中的张力分析[J].复合材料学报,2002,19(3):120-123．
[6] 崔海涛,温卫东,佟丽莉.纤维缠绕复合材料弯管分析[J].宇航材料工艺,2003,(6):39-42.
[7] 尹秀云,杨德旭纤维缠绕工艺中张力控制系统的研究[J].纤维复合材料,2005,22(3):47-48,52.
[8] 杜巍,肖军.新型纤维缠绕张力控制系统研究[J].玻璃钢/复合材料,2006,(4):35-37,6.
[9] 侯传礼,张凯,张宪忠.湿法缠绕用绕丝嘴的研究[J].纤维复合材料,2007,24(1):29-30,44.
[10] Ha S K，Jeong J K. Effects of winding angles on through-thickness properties of thick filament wound composite rings[J].Composite Science and Technology,2005,65(1):27-35．
[11] Bai J B，Seeleuthner P H，Bompard P. Mechanical behaviour of ± 55°filament-wound glass-fiber/epoxy-resin tubes I-Microstructure analyses and mechanical behavior and damage mechanisms of com-posite tubes under pure tensile，pure internal pressure and com-bined loading[J].Composite Science and Technology,1997,57(2):141-153．
[12] Bai J B，Hu G K，Bompard P. Mechanical behavior of ±55°fila-ment-wound glass-fiber/epoxy resin tubes II-Micromechanical modeling of the damage initiation-competition of the different mech-anisms[J].Composite Science and Technology,1997,57(2):155-164.
[13] Hu G K，Bai J B，Demianouchko E. Mechanical behavior of ±55° Filament-wound glass-fiber/epoxy-resin tubes III-Macromechanical model of the macroscopic behaviour of tubular structures with dam-age and failure envelope prediction[J].Composite Science and  Technology,1998,58(1):19-29.
[14] 孙江,肖琪.纤维缠绕复合材料管件的非线性行为分析及计算[J].玻璃钢/复合材料,2004,(4):3-6.
[15] 魏喜龙,孙银宝,李