1 前言
    2.5D机织物是近年来发展起来的一种新型三维织物，与传统的三维织物相比，在不损伤力学性能的同时，更能实现产业化，更好地满足航天、航空、军事及民用领域的广泛使用。所以，进一步研究2.5D机织物的结构形态及几何模型具有十分重要的现实意义。
    在以往的三维机织物结构模型中(如Byun^[1]，Lee^[2]，丁辛^[3、4]，黄故^[5]等)，都是通过先推导出织物结构参数与纤维体积含量之间的关系，再由纤维体积含量与力学性能之间的规律，间接推测织物结构的力学性能，所得的结果只能定性而不能定量地表达结构参数与力学性能之间关系。本文研究了2.5D机织物结构在承受附加张力情况下的力学性能与结构参数的关系。以织物中经纱为对象，建立势能与附加张力、纱线结构参数的关系,再由小势能原理，通过泛函数求极值的方法，得到2.5D机织物中纱线的附加张力与结构参数的关系，更为真实地反映了2.5D机织物结构在受到附加张力情况下的结构模型，为描述真实2.5D机织物结构模型和物理力学模型提供了一个科学途径，也为计算机动态模拟织物的各项力学性能指标提供了一个更为可靠的依据。
2 小势能原理
    小势能原理是指在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移中，实际存在的一组位移应使总势能成为极值^[6~8]。
    设主动力有势，势能函数为：

 
    由虚位移原理得，具有理想约束质系平衡之充要条件为：

              
    即势能之一阶变分为零，或势能具有驻值。
    研究表明，当势能具有孤立极小值时，平衡才是稳定的，否则系统的平衡位形不稳定，即在微小干扰下，系统的平衡破坏，且远离平衡位形。这一结论常称为小势能原理。
    众所周知，在一定的拉伸力作用下，织物会发生伸长，织物中的纱线会发生伸长、弯曲等变形，但是当织物伸长到一定的程度，尺寸就会稳定下来，达到系统平衡，显然符合小势能原理的条件，因此使用小势能原理来描述织物中纱线的路径是合理的。
3  2.5D机织物的结构模型
    当织物承受外部载荷时,织物的总势能П将涉及外部载荷所做的功、纱线因载荷所形成的伸长、弯曲势能，纱线间因摩擦所产生的热能，纱线因扭曲而产生的能量，纱线间相互挤压产生的能量。本文只考虑附加张力所做的功、纱线因附加张力产生的伸长、弯曲势能，并假设纱线在织物中的路径曲线是平面曲线，纱线的横截面保持圆形，纱线间无摩擦、挤压^[9]。
    根据J. W. S. Hearle原理，纱线具有线弹性，纱线在载荷下的总势能为^[10]：

  
    其中,W₁为外部载荷所作的功；W₂为纱线因载荷所形成的伸长势能；W₃为纱线的弯曲势能。
    假设纱线在织物中的路径曲线是平面曲线，每根经纱受大小相等、方向相反的拉力F_x，每根纬纱受大小相等、方向相反的拉力F_y,纬纱间的间距为a，经纱间的间距为b，都与F_x、F_y有关。由于本文只考虑单根经纱的受力弯曲，又因为2.5D机织物中经纱的运动规律基本相同，故可取经纱路径循环中的一个小循环单元，在经纱直径的中平面上建立坐标系，并取此平面的y值为0，因此经纱的曲线方程可设为Z=Z_P(x,0)，(O≤x≤2a)。由于2.5D机织物结构中，纬纱的弯曲较小，本文将纬纱近似视为直线段，因此与经纱Z＝Zp(x,0),(O≤x≤2a)相交织的三根纬纱分别表示为Z_el(0,0)、Z_e2(a,0)、Z_e3(2a,0)。 [-page-]
    经纱Z＝Z_p(x,0)在XOZ平面中受力如图1所示。

 
    其中，k为纱线的弹性系数；L_p为经纱的长度；EI为纱线的弯曲刚度；K_p为经纱路径曲线的曲率。
    总势能П是一个有关Z=Z_p(x,0)的泛函数，当系统稳定时，总势能П达到小值，为了获得纱线路径曲线的表达式，下面就是要求出这个泛函数的极值。先将利用纱线结构的几何和力学特点，把泛函数的极值问题转化为函数极值来处理，然后利用拉格朗日乘数法求解。
    由图1得弯矩方程：

 
    由几何关系可知,根纬纱与第三根纬纱具有相同的运动规律,而经纱在X等于0和2a时,Z值相等,所以有：

 
    且有约束条件：R_p＋R_e＝R(R_p为经纱的半径，R_e为纬纱的半径，R为经、纬纱半径之和)。

 
    根据拉格朗日乘数法,并在Zp(0,0)对П₁求偏导数，得：

 
    同理，分别在Z_P(a,0)、Z_e1(0,0)、Z_e2(a,0)处对П_l求偏导数，即可得到三个非线性方程。结合约束条件，式(1)、(2)、(3)、(4)，即可得到一个非线性方程组，有八个方程并且有八个未知量，通过数值模拟就可解出它们的值，得到点Z_p(0,0)、Z_p(a,0)、Z_el(0,0)、Z_e2(a,0)的位置，就可得到2.5D机织物经纱路径的真实形状曲线。 [-page-]
    至此，在承受附加张力情况下的2.5D机织物结构模型的微分方程就建成了，并给出了结构参数的约束条件。利用该方程对2.5D机织物的力学性能与结构参数之间关系的分析将做另文介绍。
4 结论
    本文研究了2.5D机织物在承受经向张力F_x和纬向张力F_y的情况下的结构模型，针对2.5D机织物中的经纱曲线进行分析，利用小势能原理，得到包含2.5D机织物结构参数与力学指标的微分方程组，更为直接地表达结构参数与力学性能之间关系。通过数值模拟即可得到2.5D机织物中经纱的真实形状曲线，相比于以前的工作，更为真实地反映了在承受附加张力情况下2.5D机织物的结构模型。在下一步的工作中，将进一步定量分析2.5D机织物中结构参数与力学性能之间的关系。
                    参考文献
[1] Byun J H，Chou T W. Elastic properties of three-dimensional angle-interlock fabric performs[J]．Journal of the Textile Institute,1990，81(4):538-548．
[2] Lee B，Herszberg I，Bannister M K，et al. The effect of weft bind-er length on the architecture of multilayer woven carbon performs[A]．In：Scott M L，ed. Proceeding of the 11th International Conference on Composite Materials(Vo1 5)[C]．Gold Coast：U-niversity of Melbourne，Australia，1997. 260-269.
[3] 丁辛,易洪雷．三维机织结构的几何模型[J].复合材料学报，2003,20(5):108-113．
[4] 丁辛，易洪雷.三维机织几何结构的数值表征[J].复合材料学报,2003,19(3):15-19.
[5] 郭兴峰，黄故，王瑞.三维正交机织物结构的几何模型[J].复合材料学报,2005,22(4):183-187.
[6] 徐之纶.弹性力学简明教程[M].北京:高等教育出版社,2004:93-104．
[7] 杨骊先.弹性力学及有限单元法[M].浙江:浙江大学出版社，2004.
[8] 李东平,曾庆元.离散系统动力学的位移变分原理[J].铁道科学与工程学报,2007,4(1):68-71.
[9] 崔海蓉.基于小能量原理的机织织物模型与方法[D].南京：南京理工大学,2004.
[10] J.W.S.Hearle and W. J. Shanahan. An energy method for calcula-tions in fabric mechanics part II：Examples of application of the method to woven fabrics[J].Textile Inst,1978,69(4):92.